复数的运算公式，复数的乘除运算，复数的除法运算公式

发布时间：2025-12-18 热度：98

复数的运算公式，复数的乘除运算，复数的除法运算公式

复数运算在数学中应用广泛呢！复数运算包括加减乘除等基本运算，掌握这些公式能帮助你更好地解决相关数学问题。 ➕ 复数加法公式 若有复数 \( z1 = a + bi \) 和 \( z2 = c + di \)（其中 \( a,b,c,d \) 均为实数，\( i \) 为虚数单位且 \( i^2 = -1 \)），则：   \[ z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i \]   规则：实部与实部相加，虚部与虚部相加。 ➖ 复数减法公式 \[ z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i \]   规则：实部与实部相减，虚部与虚部相减。 ✖️ 复数乘法公式 \[ z1 \times z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]   推导：按多项式乘法展开后合并同类项，利用 \( i^2 = -1 \) 化简虚部。   特殊情况：若 \( z = a + bi \)，则其共轭复数为 \( \overline{z} = a - bi \)，且 \( z \times \overline{z} = a^2 + b^2 \)（结果为实数）。 ➗ 复数除法公式 \[ \frac{z1}{z2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} \quad (z_2 \neq 0) \]   步骤：分子分母同乘分母的共轭复数，分母化为实数后拆分实部和虚部。 🌟 模运算公式 复数 \( z = a + bi \) 的模（绝对值）为：   \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]   性质：   \( |z1 \times z2| = |z1| \times |z2| \)   \( \left| \frac{z1}{z2} \right| = \frac{|z1|}{|z2|} \) 📐 三角形式运算（辅角表示） 若复数表示为三角形式 \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)，则：   乘法：\( z1 z2 = r1 r2 [\cos(\theta1 + \theta2) + i\sin(\theta1 + \theta2)] \)   除法：\( \frac{z1}{z2} = \frac{r1}{r2} [\cos(\theta1 - \theta2) + i\sin(\theta1 - \theta2)] \)   乘方（棣莫弗定理）：\( z^n = r^n (\cos n\theta + i\sin n\theta) \) 📝 运算律总结 交换律：\( z1 + z2 = z2 + z1 \)，\( z1 z2 = z2 z1 \)   结合律：\( (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) \)，\( (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3) \)   分配律：\( z1(z2 + z3) = z1 z2 + z1 z_3 \)