已知概率密度函数求期望和方差，已知概率密度函数求期望值和方差

发布时间：2025-07-14 热度：207

已知概率密度函数求期望和方差，已知概率密度函数求期望值和方差

1. 期望的计算

• 则(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot(2x)dx=\int_{0}^{1}2x^{2}dx)。

• 根据积分公式(\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C)（(n\neq - 1)），这里(n = 2)。

• 所以(\int_{0}^{1}2x^{2}dx=2\times[\frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{1}=2\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3})。

• 对于连续型随机变量(X)，其概率密度函数为(f(x))，期望(E(X))（也记作(\mu)）的计算公式为：(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx)。

• 例如，若概率密度函数(f(x) = \begin{cases}2x, &0\leq x\leq1\0, &\text{其他}\end{cases})

2. 方差的计算

• (E(X^{2})=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)dx=\int_{0}^{1}x^{2}\cdot(2x)dx=\int_{0}^{1}2x^{3}dx)。

• 由积分公式(\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C)（(n\neq - 1)），这里(n = 3)。

• 所以(\int_{0}^{1}2x^{3}dx=2\times[\frac{1}{4}x^{4}]_{0}^{1}=2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2})。

• 已知(E(X)=\frac{2}{3})，根据(D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2})。

• 则(D(X)=\frac{1}{2}-(\frac{2}{3})^{2}=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{9 - 8}{18}=\frac{1}{18})。

• 方差(D(X)=E((X - E(X))^{2}))，也可以通过公式(D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2})来计算。

• 首先计算(E(X^{2}))：(E(X^{2})=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)dx)。

• 对于上面的例子(f(x) = \begin{cases}2x, &0\leq x\leq1\0, &\text{其他}\end{cases})